3.7.64 \(\int \frac {(a+b x)^2}{x^{4/3}} \, dx\) [664]

Optimal. Leaf size=32 \[ -\frac {3 a^2}{\sqrt [3]{x}}+3 a b x^{2/3}+\frac {3}{5} b^2 x^{5/3} \]

[Out]

-3*a^2/x^(1/3)+3*a*b*x^(2/3)+3/5*b^2*x^(5/3)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.01, antiderivative size = 32, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 13, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.077, Rules used = {45} \begin {gather*} -\frac {3 a^2}{\sqrt [3]{x}}+3 a b x^{2/3}+\frac {3}{5} b^2 x^{5/3} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*x)^2/x^(4/3),x]

[Out]

(-3*a^2)/x^(1/3) + 3*a*b*x^(2/3) + (3*b^2*x^(5/3))/5

Rule 45

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(a+b x)^2}{x^{4/3}} \, dx &=\int \left (\frac {a^2}{x^{4/3}}+\frac {2 a b}{\sqrt [3]{x}}+b^2 x^{2/3}\right ) \, dx\\ &=-\frac {3 a^2}{\sqrt [3]{x}}+3 a b x^{2/3}+\frac {3}{5} b^2 x^{5/3}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]
time = 0.02, size = 28, normalized size = 0.88 \begin {gather*} -\frac {3 \left (5 a^2-5 a b x-b^2 x^2\right )}{5 \sqrt [3]{x}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*x)^2/x^(4/3),x]

[Out]

(-3*(5*a^2 - 5*a*b*x - b^2*x^2))/(5*x^(1/3))

________________________________________________________________________________________

Mathics [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 2 in optimal.
time = 10.87, size = 968, normalized size = 30.25

result too large to display

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

mathics('Integrate[(a + b*x)^2/x^(4/3),x]')

[Out]

Piecewise[{{3 a ^ (2 / 3) (-5 a ^ 2 (b x / a) ^ (2 / 3) - 9 -1 ^ (2 / 3) a b x + 5 a b x (b x / a) ^ (2 / 3) +
b ^ 2 x ^ 2 (b x / a) ^ (2 / 3)) / (5 b ^ (2 / 3) x), Abs[(a + b x) / a] > 1}}, -27 a ^ (29 / 3) b ^ (1 / 3)
(1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (
I Pi / 3) a ^ 6 b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) + 27 a ^ (29 / 3) b ^ (1
/ 3) / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 6 b ^ 2 (a / b
+ x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) - 81 a ^ (26 / 3) b ^ (4 / 3) (a / b + x) / (5 E ^ (
I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 6 b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 - 5 E
^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) + 63 a ^ (26 / 3) b ^ (4 / 3) (a / b + x) (1 - b (a / b + x) / a) ^
(2 / 3) / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 6 b ^ 2 (a /
b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) - 42 a ^ (23 / 3) b ^ (7 / 3) (1 - b (a / b + x) /
a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 2 / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi
/ 3) a ^ 6 b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) + 81 a ^ (23 / 3) b ^ (7 / 3
) (a / b + x) ^ 2 / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 6
b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) - 27 a ^ (20 / 3) b ^ (10 / 3) (a / b +
x) ^ 3 / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 6 b ^ 2 (a /
b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) + 3 a ^ (20 / 3) b ^ (10 / 3) (1 - b (a / b + x) /
a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 3 / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a / b + x) + 15 E ^ (I Pi
/ 3) a ^ 6 b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3) + 3 a ^ (17 / 3) b ^ (13 / 3)
(1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 4 / (5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 8 - 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 7 b (a /
b + x) + 15 E ^ (I Pi / 3) a ^ 6 b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 - 5 E ^ (I Pi / 3) a ^ 5 b ^ 3 (a / b + x) ^ 3)]

________________________________________________________________________________________

Maple [A]
time = 0.10, size = 25, normalized size = 0.78

method	result	size
gosper	\(-\frac {3 \left (-x^{2} b^{2}-5 a b x +5 a^{2}\right )}{5 x^{\frac {1}{3}}}\)	\(25\)
derivativedivides	\(-\frac {3 a^{2}}{x^{\frac {1}{3}}}+3 a b \,x^{\frac {2}{3}}+\frac {3 b^{2} x^{\frac {5}{3}}}{5}\)	\(25\)
default	\(-\frac {3 a^{2}}{x^{\frac {1}{3}}}+3 a b \,x^{\frac {2}{3}}+\frac {3 b^{2} x^{\frac {5}{3}}}{5}\)	\(25\)
trager	\(-\frac {3 \left (-x^{2} b^{2}-5 a b x +5 a^{2}\right )}{5 x^{\frac {1}{3}}}\)	\(25\)
risch	\(-\frac {3 \left (-x^{2} b^{2}-5 a b x +5 a^{2}\right )}{5 x^{\frac {1}{3}}}\)	\(25\)

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a)^2/x^(4/3),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-3*a^2/x^(1/3)+3*a*b*x^(2/3)+3/5*b^2*x^(5/3)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]
time = 0.26, size = 24, normalized size = 0.75 \begin {gather*} \frac {3}{5} \, b^{2} x^{\frac {5}{3}} + 3 \, a b x^{\frac {2}{3}} - \frac {3 \, a^{2}}{x^{\frac {1}{3}}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^2/x^(4/3),x, algorithm="maxima")

[Out]

3/5*b^2*x^(5/3) + 3*a*b*x^(2/3) - 3*a^2/x^(1/3)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]
time = 0.29, size = 23, normalized size = 0.72 \begin {gather*} \frac {3 \, {\left (b^{2} x^{2} + 5 \, a b x - 5 \, a^{2}\right )}}{5 \, x^{\frac {1}{3}}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^2/x^(4/3),x, algorithm="fricas")

[Out]

3/5*(b^2*x^2 + 5*a*b*x - 5*a^2)/x^(1/3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [C] Result contains complex when optimal does not.
time = 1.07, size = 1826, normalized size = 57.06

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)**2/x**(4/3),x)

[Out]

Piecewise((-27*a**(29/3)*b**(1/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*exp(I*pi/3)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/
b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) - 27*a**(29
/3)*b**(1/3)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) +
5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 63*a**(26/3)*b**(4/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)*exp(I*pi/3
)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3
*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 81*a**(26/3)*b**(4/3)*(a/b + x)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*
pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) - 42*a**(23/3)*b**(7/3)*
(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) -
15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) - 81*a**(23/3)*b**(7/3)*(a/b + x
)**2/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b
**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 3*a**(20/3)*b**(10/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)/(-5
*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b
+ x)**3*exp(I*pi/3)) + 27*a**(20/3)*b**(10/3)*(a/b + x)**3/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*p
i/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 3*a**(17/3)*b**(13/3)*(
-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**4*exp(I*pi/3)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 1
5*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)), Abs(b*(a/b + x)/a) > 1), (27*a**
(29/3)*b**(1/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b*
*2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) - 27*a**(29/3)*b**(1/3)/(-5*a**8*exp(I*pi/
3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*
pi/3)) - 63*a**(26/3)*b**(4/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)
*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 81*a**(26/3)*b*
*(4/3)*(a/b + x)/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3
) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 42*a**(23/3)*b**(7/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**2/(-5*
a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b
+ x)**3*exp(I*pi/3)) - 81*a**(23/3)*b**(7/3)*(a/b + x)**2/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/
3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) - 3*a**(20/3)*b**(10/3)*(1
- b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**3/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/
b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)) + 27*a**(20/3)*b**(10/3)*(a/b + x)**3/(-5*a**8*e
xp(I*pi/3) + 15*a**7*b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**
3*exp(I*pi/3)) - 3*a**(17/3)*b**(13/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**4/(-5*a**8*exp(I*pi/3) + 15*a**7*
b*(a/b + x)*exp(I*pi/3) - 15*a**6*b**2*(a/b + x)**2*exp(I*pi/3) + 5*a**5*b**3*(a/b + x)**3*exp(I*pi/3)), True)
)

________________________________________________________________________________________

Giac [A]
time = 0.00, size = 39, normalized size = 1.22 \begin {gather*} \frac {3}{5} \left (x^{\frac {1}{3}}\right )^{2} x b^{2}+3 \left (x^{\frac {1}{3}}\right )^{2} b a-\frac {3 a^{2}}{x^{\frac {1}{3}}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^2/x^(4/3),x)

[Out]

3/5*b^2*x^(5/3) + 3*a*b*x^(2/3) - 3*a^2/x^(1/3)

________________________________________________________________________________________

Mupad [B]
time = 0.04, size = 24, normalized size = 0.75 \begin {gather*} \frac {-15\,a^2+15\,a\,b\,x+3\,b^2\,x^2}{5\,x^{1/3}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + b*x)^2/x^(4/3),x)

[Out]

(3*b^2*x^2 - 15*a^2 + 15*a*b*x)/(5*x^(1/3))

________________________________________________________________________________________